확률의 이론. 이벤트의 확률, 가끔 이벤트 (확률 이론). 확률 이론의 독립과 호환되지 않는 개발

많은 사람들이 우발적 인 사건을 계산할 수 있는지 궁금해하고 있습니다. 간단히 말하면, 주사위의 어느 쪽이 다음에 떨어질지를 아는 것이 실제로 가능합니까? 확률론 과 같은 과학을 시작한 두 명의 위대한 과학자들에게 아주 광범위하게 연구 되는 사건 의 확률 을 묻는 것이이 질문이었습니다.

원산지

그러한 개념을 확률 이론으로 정의하려고하면 다음 결과를 얻을 수 있습니다. 이것은 무작위 사건의 불변성 연구를 다루는 수학의 한 분야입니다. 분명히,이 개념은 실제로 모든 점을 밝히지는 않으므로 좀 더 자세히 고려해야합니다.

저는이 이론의 창시자들과 함께 시작하고 싶습니다. 위에서 언급했듯이 Pierre Fermat 과 Blaise Pascal 이 그 중 두 명이었습니다 . 그들은 사건의 결과를 계산하기 위해 수식과 수학적 계산을 사용한 첫 번째 사람 중 하나였습니다. 일반적으로이 과학의 시작은 중세 시대에 나타났습니다. 그 당시에는 여러 사상가와 과학자들이 룰렛, 뼈 등과 같은 도박을 분석하여 특정 숫자의 하락에 대한 규칙 성과 비율을 확립했습니다. 기초는 위에서 언급 한 과학자들에 의해 정확하게 17 세기에 세워졌습니다.

처음에 그들의 작품은이 분야의 위대한 업적에 기인 할 수 없었습니다. 왜냐하면 그들이 한 모든 일은 단순히 경험적인 사실 이었기 때문에 실험은 공식을 사용하지 않고 시각화 되었기 때문입니다. 시간이 지남에 따라 뼈 던지기의 관찰로 인해 큰 결과가 나타났습니다. 첫 번째 알기 쉬운 수식을 얻는 데 도움이되는 도구였습니다.

같은 생각을 가진 사람들

"확률 이론"이라는 주제를 연구하는 과정에서 기독교 호이겐스 (Christian Huygens)와 같은 인물은 언급 할 수 없습니다 (사건의 확률은이 과학에서 다룹니다). 이 사람은 매우 흥미 롭습니다. 그는 위에 제시된 과학자들뿐만 아니라 수학 공식의 형태로 무작위 사건의 법칙을 도출하려고 노력했다. 그가 파스칼과 페르마르와 함께하지 않았다는 것은 주목할만한 일이다. 즉 그의 모든 작품이이 마음과 겹치지 않았다는 것이다. 호이겐스 는 확률 이론 의 기본 개념을 도출했습니다 .

그의 작품이 발견 자 작품의 결과보다 오래 전에 출판 된 것은 흥미 롭습니다. 아니면 오히려 20 년 전의 작품입니다. 지정된 개념 중에서 가장 유명한 것은 다음과 같습니다.

• 확률의 개념으로서의 확률;
• 이산 경우에 대한 수학적 기대;
• 곱셈과 가산 확률의 정리.

또한 문제의 연구에 크게 기여한 Jakob Bernoulli를 회상하지 않는 것은 불가능합니다. 독립 테스트를 한 사람이 아무도 없었으므로 그는 많은 수의 법칙에 대한 증거를 제시했습니다. 차례 차례로 19 세기 초에 일했던 Poisson과 Laplace의 과학자들은 원래의 정리를 증명할 수있었습니다. 이 순간부터 확률 이론을 사용하여 관측 과정에서 오류를 분석했습니다. 러시아 과학자들,보다 정확하게 마르코프, 체비 셰프, 디아 뿌 노프는이 과학을 우회 할 수 없었다. 그들은 훌륭한 천재들의 연구에 기초하여이 주제를 수학 영역으로 고정시켰다. 이 수치는 19 세기 말에 이루어졌으며 그 기여로 인해 다음과 같은 현상이 나타났습니다.

• 많은 수의 법칙;
• 마르코프 사슬 이론;
• 중심 극한 정리.

그래서 과학의 탄생의 역사와 그것에 영향을받은 주요 인물들과 함께, 모든 것이 더 많거나 적습니다. 이제 모든 사실을 구체화 할 차례입니다.

기본 개념

법칙과 정리를 만지기 전에, 확률 이론의 기본 개념을 연구 할 가치가있다. 이벤트가 지배적 인 역할을합니다. 이 주제는 매우 방대한 내용이지만 그렇지 않으면 그 밖의 모든 것을 이해할 수 없습니다.

확률 이론의 사건은 모든 경험 결과. 이 현상에 대한 개념은 그리 많지 않습니다. 그래서이 분야에서 일하는 과학자 인 롯트 만 (Lotman)은이 경우 "일어날 수없는 일"에 관한 것이라고 말했습니다.

무작위 사건 (확률 이론은 그들에게 특별한주의를 기울인다)은 일어날 수있는 모든 현상을 절대적으로 암시하는 개념이다. 또는 반대로 많은 조건이 충족 될 때이 시나리오가 발생하지 않을 수 있습니다. 또한 발생 된 현상의 전체 볼륨을 포착하는 것은 임의의 이벤트라는 것을 아는 것도 가치가 있습니다. 확률 이론은 모든 조건이 항상 반복 될 수 있음을 나타냅니다. "경험"또는 "시험"이라고 불리는 것은 그들의 행동이었습니다.

어떤 사건은이 재판에서 완전히 일어날 현상입니다. 따라서 불가능한 사건은 일어나지 않는 사건입니다.

한 쌍의 행동 (조건 적으로 케이스 A와 케이스 B)을 결합하는 것은 동시에 발생하는 현상입니다. 그것들은 AB로 표시됩니다.

이벤트 A와 B의 쌍의 합은 C, 즉 이들 중 적어도 하나 (A 또는 B)가 발생하면 결과는 C입니다. 설명 된 현상에 대한 공식은 C = A + B로 작성됩니다.

확률 이론에서 비 공동 사건은 두 경우가 서로를 배제 함을 의미합니다. 동시에 어떤 경우에도 일어날 수 없습니다. 확률 이론에서의 합동 사건은 그것들의 대립 항이다. 여기서 A가 발생한 경우 V를 예방하지 못함을 의미합니다.

정반대의 사건들 (확률론은 그것들을 아주 자세하게 다룬다)은 이해하기 쉽다. 그것들을 비교하여 다루는 것이 가장 좋습니다. 확률론에서 일치하지 않는 사건과 거의 같습니다. 그러나 그 차이점은 어떤 경우에도 많은 현상 중 하나가 발생한다는 사실에 있습니다.

똑같이 가능한 이벤트는 반복성이 동일한 액션입니다. 더 명확하게하기 위해, 당신은 동전 던지기를 상상할 수 있습니다 : 그면 중 하나의 붕괴는 똑같이 다른 붕괴 가능성이 있습니다.

호의적 인 사건은보기에 고려하기 쉽다. 에피소드 B와 에피소드 A가 있다고 가정 해 봅시다. 첫 번째는 홀수 번째로 나타나는 주사위의 롤이고 두 번째는 큐브에서 다섯 번째 숫자입니다. 그러면 A가 B에 유리하다는 것을 알 수 있습니다.

확률 이론에서의 독립적 사건 은 두 개 또는 그 이상의 경우에만 투사되며 다른 사건의 독립성을 암시한다. 예를 들어 A는 동전을 던지는 동안 꼬리를 떨어 뜨리고 B는 갑판에서 잭을 얻습니다. 그들은 확률 이론에서 독립적 인 사건이다. 이 순간에 더 명확 해졌습니다.

확률 이론의 종속 사건은 또한 그들의 집합에 대해서만 받아 들여질 수 있습니다. 그것들은 서로에 대한 의존성을 암시합니다. 즉 현상 B는 A가 이미 발생했거나 반대로 V가 발생하지 않았을 때 발생할 수 있습니다. 이것이 V의 주요 조건 일 때입니다.

하나의 구성 요소로 구성된 무작위 실험의 결과는 초등 사건입니다. 확률 이론은 이것이 단지 한 번 일어난 현상이라고 설명한다.

기본 수식

따라서, "사건", "확률 이론"이라는 개념이 위에서 고려되었으며,이 과학의 기본 용어의 정의도 주어졌습니다. 이제 중요한 공식에 익숙해 질 때입니다. 이 표현은 확률 이론과 같은 복잡한 주제의 모든 주요 개념을 수학적으로 확인합니다. 이벤트의 가능성은 여기서 큰 역할을합니다.

combinatorics의 기본 공식으로 시작하는 것이 좋습니다. 그리고 당신이 그들에게 나아 가기 전에, 그것은 그것이 무엇인지를 고려할 가치가 있습니다.

조합론은 주로 수학의 한 분야이며 수많은 정수의 연구뿐만 아니라 숫자 자체, 요소, 다양한 데이터 등의 다양한 순열을 다루므로 여러 조합의 출현을 가져옵니다. 확률 이론 외에도이 지점은 통계, 컴퓨터 과학 및 암호 작성에 중요합니다.

이제 수식 자체와 그 정의를 표현할 수 있습니다.

이들 중 첫 번째는 순열의 수에 대한 표현이 될 것입니다.

P_n = n · (n-1) · (n-2) ... 3 · 2 · 1 = n!

이 방정식은 요소가 위치 순서 만 다른 경우에만 사용됩니다.

이제 게재 위치 공식이 고려되며, 다음과 같이 보입니다.

A_n ^ m = n · (n-1) · (n-2) · · · (n-m + 1) = n! : (N-m)!

이 표현식은 요소의 배치 순서뿐만 아니라 요소의 구성에도 적용됩니다.

조합론의 세 번째 방정식은 후자이며, 조합 수에 대한 공식이라고합니다.

C_n ^ m = n! : ((N-m))! : M!

조합은 각각 순서가 지정되지 않은 샘플이며이 규칙이 적용됩니다.

combinatorics 수식을 사용하면 어려움없이 정렬 할 수 있었지만 이제는 확률에 대한 고전적인 정의를 진행할 수 있습니다. 이 표현식은 다음과 같습니다.

P (A) = m : n이다.

이 공식에서, m은 사건 A를 선호하는 조건의 수이고, n은 절대적으로 동등하게 가능한 모든 요소 결과의 수이다.

표현이 많이 있는데 기사가 모든 것을 다루지는 않지만 사건의 합이 발생할 확률과 같은 가장 중요한 표현이 영향을받습니다.

P (A + B) = P (A) + P (B)는 호환되지 않는 이벤트 만 추가하는 정리입니다.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - 이것은 덧셈에 대해서만 호환됩니다.

이벤트의 확률 :

P (A · B) = P (A) P (B)는 독립 사건에 대한 정리이다.

P (A | B) = P (A | B) = P (A | B) = P (A | B)

이벤트 수식의 목록을 끝내십시오. 확률 이론은 우리에게 정리에 관해 알려줍니다. Bayes는 다음과 같이 보입니다.

P (A_H_k)), m = 1, P (H_m) = (P (H_m) N

이 공식에서, H ₁ , H ₂ , ..., H _n 은 가설의 완전한 집합이다.

우리는이 문제에 대해 계속 토론 할 것이며, 연습 문제를 해결하기 위해 수식을 적용하는 사례를 고려할 것입니다.

예제들

신중하게 수학 영역을 공부하면 실습과 샘플 솔루션 없이는 할 수 없습니다. 확률 이론 : 사건, 여기의 예는 과학적 계산을 확인하는 필수 요소입니다.

순열의 수에 대한 수식

카드 한 장에 액면이 1 인 카드가 30 개 있다고 가정 해 봅시다. 다음 질문. 데크를 접을 수있는 방법이 여러 가지가있어서 액면가가 1 인 카드와 2 카드가 나란히 놓여 있지 않습니까?

작업이 설정되면 이제 해당 솔루션으로 넘어 갑니 다. 첫째, 우리는 30 개의 요소의 순열의 수를 결정할 필요가 있습니다. 위의 수식을 취하면 P_30 = 30이됩니다!

이 규칙에 따라 여러 가지 방법으로 데크를 접을 수있는 옵션의 수를 알아 냈지만 첫 번째와 두 번째 카드가 다음에 오는 카드를 빼야합니다. 이렇게하려면 첫 번째가 두 번째 위에있을 때 옵션부터 시작합니다. 첫 번째 카드는 첫 번째 카드에서 두 번째 카드까지 29 개의 카드를 가져갈 수 있으며 두 번째 카드는 두 번째 카드에서 30 번째 카드까지 한 쌍의 카드로만 29 개의 카드를받을 수 있습니다. 차례대로, 나머지는 28 개의 장소를 임의의 순서로 취할 수 있습니다. 즉, 28 장의 카드를 교환하기 위해 28 가지 변형 P_28 = 28이 있습니다.

결국 우리가 해를 고려해 보면, 첫 번째 카드가 두 번째 카드 위에있을 때 여분의 가능성은 29 ∙ 28이 될 것입니다. = 29!

동일한 방법을 사용하여 첫 번째 카드가 두 번째 카드 아래에있는 경우 중복 옵션 수를 계산해야합니다. 29 ∙ 28! = 29!

이것으로부터 30의 갑판을 모으는 데 필요한 방법이 있지만 여분의 옵션은 2 ⋅ 29입니다! - 2 · 29! 셀 수 있습니다.

30! = 29! ∙ 30; 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ∙ 28

이제 우리는 1부터 29까지 모든 숫자를 곱해야하고, 그 다음에 28을 곱하십시오. 결국, 우리는 2,4757335를 얻습니다. 〖10〗 ^ 32

예제의 해결책. 게재 위치 수에 대한 수식

이 작업에서는 하나의 선반에 15 권을 몇 가지 방법으로 넣을지를 알아야하지만, 모든 권이 30 권이라는 조건이 필요합니다.

이 문제에서 솔루션은 이전 방법보다 약간 간단합니다. 이미 알려진 공식을 사용하여 30 개의 부피에서 15 개의 총 배치 수를 계산해야합니다.

A_30 ^ 15 = 30 · 29 · 28 · · · (30 - 15 + 1) = 30 · 29 · 28 · ... · 16 = 202 843 204 931 727 360 000

대답은 각각 202 843 204 931 727 360 000입니다.

이제 작업을 좀 더 복잡하게하겠습니다. 하나의 선반에 15 권만있을 수 있다고 가정한다면 두 책꽂이에 30 권의 책을 몇 개나 놓아야 하는지를 알아야합니다.

솔루션을 시작하기 전에 몇 가지 문제가 여러 가지 방법으로 해결된다는 것을 명확히 밝히고 싶습니다. 따라서 두 가지 방법이 있지만 두 가지 방법 모두 동일한 공식을 사용합니다.

이 작업에서는 이전 책에서 답을 얻을 수 있습니다. 여러 가지 방법으로 15 권의 책을 선반에 채울 수있는 횟수를 계산했기 때문입니다. A_30 ^ 15 = 30 · 29 · 28 · · · · (30 - 15 + 1) = 30 · 29 · 28 · ... · 16이라고 판명되었다.

두 번째 선반은 순열 수식에 따라 계산됩니다. 15 권의 책이 놓여지기 때문에 15 권의 책만 남았습니다. 우리는 공식 P_15 = 15를 사용합니다!

합계는 A_30 ^ 15 * P_15 방식이 될 것이지만, 30 개에서 16 개까지의 모든 숫자의 곱은 1에서 15까지의 숫자의 곱으로 곱해야합니다. 결과적으로 1에서 30까지 모든 숫자의 곱을 얻습니다. 즉 답입니다. 30과 같습니다!

그러나이 작업은 다른 방식으로 해결 될 수 있습니다. 이렇게하기 위해 서른 권의 책 한 권이 있다고 상상할 수 있습니다. 이 비행기는 모두이 비행기에 배치되지만 조건에 따라 두 개의 선반이 있어야하기 때문에 한 개의 긴 톱을 반으로 자르면 2 개 15 개가됩니다. 이것으로부터 배열의 변형이 P_30 = 30이 될 수 있음이 밝혀졌습니다.

예제의 해결책. 조합 수에 대한 수식

이제 조합론의 세 번째 문제의 변형을 고려해 보겠습니다. 30 가지 도서 중에서 어떤 방법을 선택해야 하는지를 알아야합니다.

솔루션의 경우 조합 수에 대한 수식이 적용됩니다. 이 조건에서 동일한 15 권의 책의 순서가 중요하지 않다는 것이 분명해진다. 따라서 처음에는 30 권의 도서 조합의 총 수를 15 개씩 알아 내야합니다.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

그게 다야. 이 수식을 사용하면 가장 짧은 시간에 이러한 문제를 해결할 수 있었으며 답변은 각각 155 117 520입니다.

예제의 해결책. 확률의 고전적 정의

위 공식을 사용하면 간단한 작업으로 답을 찾을 수 있습니다. 그러나 이것은 시각적으로 행동 과정을보고 따르는 데 도움이 될 것입니다.

문제에서는 항아리에 10 개의 절대적으로 동일한 볼이 있다는 것을 알 수 있습니다. 이 중 4 개는 노란색이고 6 개는 파란색입니다. 하나의 공은 항아리에서 가져옵니다. 파란색으로 갈 확률을 알아야합니다.

이 문제를 해결하려면 이벤트 A로 파란 공을 가져 오는 것을 지정해야합니다.이 경험은 차례대로 초등 동일하게 가능한 10 가지 결과를 가질 수 있습니다. 동시에 10 명 중 10 명은 이벤트 A에 유리합니다. 공식에 따라 결정합니다.

P (A) = 6 : 10 = 0.6

이 공식을 적용, 우리는 파란색 공 dostavaniya 가능성이 0.6 것을 배웠습니다.

솔루션의 예. 이벤트 금액의 확률

누가는 일정 금액의 확률의 수식을 사용하여 해결된다 변형 될 것이다. 팔 회색과 네 개의 흰색 공 - 그래서 두 가지 경우가 있습니다 것을 조건으로 주어진 첫 번째는 반면, 두 번째 회색 다섯 흰색 공입니다. 그 결과, 제 1 및 제 2 상자 중 하나에 촬영했다. 공 회색과 흰색입니다 부족 가능성이 무엇인지 알아낼 필요가있다.

이 문제를 해결하기 위해서는 이벤트를 확인하는 것이 필요하다.

• P (A) = 1/6 : - 따라서, 우리는 회색 첫 번째 상자의 공을 가지고있다.
• A '- 또한 첫 번째 상자에서 촬영하는 흰색 전구 : P (A')는 5/6 =.
• 더 - 제 2 도관의 이미 추출 그레이 볼 : P (B)은 2/3 =.
• '- (= 1/3 B는 P B) 회색 제 서랍 공했다 ".

AB '또는'B를 : 문제에 따르면이 현상 중 하나가 발생 할 필요가있다 식을 사용하여, 우리는 얻었다 : P (AB ')가 1/18, P (A'B) = 10/18 =.

지금 확률을 곱하는 수식을 사용 하였다. 다음으로, 답을 찾기 위해, 당신은 추가 자신의 방정식을 적용해야합니다 :

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

즉, 공식을 사용하면 이러한 문제를 해결할 수있는 방법입니다.

결과

이 신문은 "확률 이론", 중요한 역할을 사건의 확률에 대한 정보를 제시했다. 물론, 모든 것을 고려하고있다, 그러나 제시 한 텍스트에 근거하여, 당신은 이론적으로 수학의 지점에 익숙해 얻을 수 있습니다. 고려 과학 전문 사업뿐만 아니라 일상 생활에서뿐만 아니라 유용 할 수 있습니다. 당신은 이벤트의 가능성을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

텍스트는 상당한 과학 같은 확률 이론의 발전의 역사에서 날짜 및 작품 그것으로 넣어 사람들의 이름에 의해 영향을 받았다. 즉 사람들이, 심지어 무작위 이벤트를 계산 배웠다는 사실에지도가 얼마나 인간의 호기심입니다. 일단 그들은이 단지 관심이 있지만, 오늘은 이미 모두에게 알려져있다. 그리고 아무도 다른 화려한 발견이 고려 이론에 관한 것, 최선을 다하고 될 미래에 우리에게 무슨 일이 일어날 지 말할 수 없다. 그러나 한 가지는 확실합니다 - 연구는 여전히 가치가 없어!