정규 다면체 : 요소 대칭 및 지역

항상 명확하지 않다 대수는 달리 왜 당신이 생각 시각적 객체를 제공하기 때문에 기하학은 아름답습니다. 다양한 기관의이 멋진 세계는 정규 다면체를 장식.

정규 다면체에 대한 일반 정보

그들은 플라톤 고체라고 많은, 정규 다면체에 따르면, 또는, 독특한 특성을 가지고있다. 이러한 개체는 여러 과학적인 가설을 연결로. 당신이 몸의 기하학적 데이터를 연구하기 시작하면, 당신은 거의 정규 다면체와 같은 개념에 대해 아무것도 모르는 것을 알고 있습니다. 학교에서 이러한 개체의 발표는 항상 재미 있지, 그래서 많은 사람들은 심지어 그들이라는 있었는지 기억하지 않습니다. 대부분의 사람들의 기억에서 그냥 큐브입니다. 신체 형상의 아무도는 정규 다면체 등 완벽을 소유하지 않습니다. 이러한 기하학적 기관의 모든 이름은 고대 그리스에서 유래. 그들은 얼굴의 수를 나타냅니다 : 면체 - 4면, 육면체 - 알렌, 팔면체 - 팔각형, 십이 면체를 - 면체, 면체를 - 면체를. 이러한 기하학적 신체의 모든 우주의 플라톤의 개념에서 중요한 위치를 차지한다. - 화재의 면체 - 물 큐브 - 지구, 팔면체 - 공기 면체 : 그들 중 네 요소 나 개체를 구현한다. 면체는 모든 것을 구현. 그는 우주의 상징으로, 주요 여겨졌다.

다면체의 개념의 일반화

다면체는 다각형 등 그 유한 모음입니다 :

• 다각형의 임의의 측면 각각 동시에 동일 측에 다른 다각형의 단지 하나 개의 측면이고;
• 당신이 다각형 이에 인접한 전달하여 다른 걸을 수 다각형의 각에서.

리브 - 다면체를 구성하는 다각형의면과 그 측면을 나타낸다. 다면체의 정점은 다각형의 정점이다. 용어 다각형 평면 닫힌 폴리 라인을 이해한다면, 다면체의 한 정의에 온다. 이 용어가 파선으로 묶여 평면의 부분을 의미하는 경우에는, 다각형 부분으로 구성된 표면을 이해할 수있을 것이다. 볼록 다면체는면에 인접하는면의 한쪽에 놓인 본체 불린다.

다면체 및 해당 요소의 또 다른 정의

다면체는 하체를 제한하는 다각형으로 이루어진 표면을했다. 그들은 :

• 비 볼록;
• 볼록 (옳고 그름).

정다면체는 - 최대 대칭 볼록 다면체이다. 정규 다면체의 요소 :

• 문헌 [Tetrahedron : 리브 4 개 6 5 개면 정점;
• 직육면체 (입방체) (12), 6, 8;
• 면체 30, 12, 20;
• 팔면체 12, 8, 6;
• 면체 30, 20, 12.

오일러의 정리

그것은 모서리의 정점과면의 수 사이의 관계가 토폴로지가 구 동등 정한다. 정점과면의 수 (B의 +의 D)가 다른 일반적인 다면체 추가 리브의 수와 비교, 하나의 규칙을 설정할 수있다 : (2)에 의해 상승 정점과 에지 (P)의 개수와 동일한 얼굴의 수의 합이 간단한 식을 유도 할 수있다 :

• B + D = P + 2.

이 수식은 모두 볼록 다면체 유효하다.

기본 정의

정다면체의 개념은 한 문장으로 설명하는 것은 불가능하다. 그것은 더 가치 및 볼륨입니다. 본체가 그렇게 인식 할, 정의의 개수를 충족해야한다. 따라서, 하체는 이러한 조건이 충족되는 정다면체는 다음과 같습니다

• 이는 볼록;
• 갈비뼈 같은 수는 각 정점에 수렴;
• 자신의 모든 측면 - 서로 동일 정다각형;
• 모든이면 각의 각도는 동일하다.

정규 다면체의 속성

정규 다면체의 5 가지 종류가 있습니다 :

1. 큐브 (육면체) -이 평평한 정점 각도가 90 °이다 있습니다. 이것은 3면의 각도를 갖는다. 양면이 270 °의 정점에 각도.
2. 정사면체 - 60 ° - 플랫 정각. 이것은 3면의 각도를 갖는다. 180 ° - 양의 얼굴이 정점에 각도.
3. 정팔면체 - 60 ° - 플랫 정각. 그것은 4면의 각도가 있습니다. 240 ° - 양의 얼굴이 정점에 각도.
4. 면체 - 108 °의 평면 꼭지각. 이것은 3면의 각도를 갖는다. 324 ° - 양의 얼굴이 정점에 각도.
5. 정 이십 면체는 - 60 ° - 그것의 평평한 정점 각도를 가지고있다. 그것은 다섯면의 각도가 있습니다. 양 단면은 300 ℃의 정점에 각도.

정규 다면체의 면적

기하학 체의 표면적 (S)의면의 개수 (G)을 곱한 정다각형 영역으로서 계산된다 :

• 이 S = (a : 2)의 2G CTG π / P를 X.

정규 다면체의 볼륨

이 값은 기지국 정다각형,면의 수를 정기적 인 피라미드의 양을 곱하여, 그 높이는, 영역 (R)의 반경 등재되어

• V = 1 : 3RS.

정규 다면체의 볼륨

다른 기하학적 고체, 정규 다면체 같은 다른 볼륨을 가지고있다. 다음은 그들이 계산할 수있는 공식은 다음과 같습니다 :

• 문헌 [Tetrahedron : α X 3√2 : 12;
• 팔면체 : α X 3√2 : 3;
• 면체; α × 3;
• 직육면체 (입방체) α × 5 × 3 × (3 + √5) : 12;
• 면체 : α × 3 (15 + 7√5) 4.

정규 다면체의 요소

육면체와 팔면체 이중 기하학적 기관입니다. 즉, 그들은 하나의 중심이 다른 상단, 반대의 경우도 마찬가지으로 간주되는 경우에 서로 나가 수 있습니다. 또한 듀얼 면체와 십이 면체이다. 자신 만 사면체 듀얼입니다. 유클리드의 방법에 따라 큐브의 얼굴에 "지붕"을 구성하여 면체의 육면체에서 얻을 수 있습니다. 정사면체의 꼭지점 큐브의 모든 4 개 정점 가장자리를 따라 인접하지 쌍이다. 육면체 (큐브)를 얻을 수 있으며, 다른 일반 다면체에서. 사실에도 불구하고 정다각형은 수많은 정규 다면체가, 5가 있습니다.

정다각형의 반경

이러한 기하학 체의 각각에 접속 동심 분야 3이다 :

• 정점을 통과하는 기재;
• 그것의 중간에 그 얼굴의 각 관한 새겨 져;
• 중간 중간에있는 모든 가장자리에 관하여.

다음 식에 의해 기술되는 구의 반경이 산출된다 :

• R은 = 2 × π TG / g X TG θ : 2이다.

다음과 접하는 구의 반경이 산출된다 :

• 이 R = 2 × π CTG / P를 X TG θ : 2,

여기서 θ - 인접면 사이 면각 각도.

구의 중간 반경은 다음 식을 사용하여 계산 될 수있다 :

• ρ = A COS π / P : 2 죄 π / H,

H는 4.6, 6.10, 또는 10 내접 설명의 반경의 비 대칭 p와 q에 대하여의 크기 = 여기서. 다음과 같이 계산된다 :

• R / R = TG π / P X TG π / Q.

다면체의 대칭

정규 다면체의 대칭이 기하학적 기관에 대한 주요 관심사이다. 이것은 정점면 및 모서리 같은 수의 잎 공간상의 몸체의 움직임으로 이해된다. 대칭의 영향 아래 모서리를 변형 즉, 정점 또는 얼굴이 원래의 위치를 유지하거나 다른 리브 다른 정점 또는면의 홈 위치로 이동한다.

정규 다면체의 대칭의 요소는 기하학적 고체의 모든 유형에 공통입니다. 여기 원래 위치에있는 점을 남긴다 항등 변환에 수행된다. 당신이 차례 때, 다각형 프리즘 일부 대칭를 얻을 수 있습니다. 그 중 하나는 반사의 곱으로 표현 될 수있다. 직접라는 반사 짝수의 제품입니다 대칭. 이 반사 홀수의 생성물 인 경우, 이는 피드백 불린다. 따라서, 라인 주변의 모든 회전은 직선 대칭을 나타냅니다. 모든 반사 다면체는 - 역 대칭이다.

더 나은 정규 다면체의 대칭 요소를 이해하려면 면체의 예를 취할 수 있습니다. 정점과 중심 중의 하나를 통과 할 것이다 상관 광고 기하학적 형상이 일어나는, 그것에 대향 에지의 중심을 통과한다. 라인 주위의 회전 (120), 240 °의 각각은 복수의 사면체 대칭 속한다. 그것은 4 개 정점과 얼굴 때문에, 우리는 여덟 직접 대칭의 총을 얻는다. 가장자리의 중간 바디의 중앙을 통과하는 라인의 상관은, 상기 대향 엣지의 중앙을 통과한다. 180 °의 회전, 직선 대칭 주위에 반 회전을했다. 면체는 갈비뼈 세 쌍을 가지고 있기 때문에, 당신은 대칭의 세 줄을 얻을. 상기에 기초하여, 우리는 최대 12 것, 항등 변환을 포함하는 총 직접 대칭 수와 체결 할 수있다. 기타 직접 대칭 면체는 존재하지 않지만, 12 역 대칭을 가지고있다. 따라서, 단지 24 면체 대칭을 특징으로한다. 명확하게하기 위해, 우리는 판지로 만들어진 정사면체의 모델을 구축하고 기하학적 몸이 정말에만 24 대칭을 가지고 있는지 확인 할 수 있습니다.

십이 면체와 면체 - 신체 영역에 가장 가까운. 정 이십 면체는 얼굴의 가장 큰 수, 면각 각도를 가지고 있으며, 무엇보다도 단단히 새겨 영역에 집착 할 수 있습니다. 면체의 정점에서 낮은 각도 결함 큰 입체각을 갖는다. 그것은 외 접하는 영역을 채우기 위해 최대화 할 수 있습니다.

스캔 다면체

우리 모두가 어린 시절 서로 붙어 정규 다면체 스캔, 개념을 많이 가지고 있어요. 다각형의 세트가있는 경우, 각면은 다면체의 한면 식별, 당사자의 식별이 두 가지 조건을 준수해야합니다 :

• 각 다각형, 당신은 측면의 식별을 갖는 다각형에 갈 수있다;
• 식별 측은 동일한 길이를 가져야한다.

이들 조건을 만족하는 다각형의 집합이며, 다면체 스캔이라고합니다. 이러한 몸의 각 그들 중 몇 가지가 있습니다. 예를 들어, 큐브는 11 개 조각이있다.